Zadanie nr 6014766

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V = 2 . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy, a przez wysokość graniastosłupa.

Z podanej objętości mamy

2√ -- √ -- 2 = a---3-⋅H ⇒ H = --8√---= 8---3. 4 a2 3 3a2

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej.

√ -- √ -- √ -- ( ) a2 3 a 2 3 8 3 √ -- a2 8 Pc = 2⋅ --4--+ 3aH = ---2--+ --a--= 3 -2-+ a- .

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji 2 f(a) = a2-+ 8a określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

′ 8-- a3 −-8 f (a) = a− a2 = a2 .

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla a ∈ (0,2) i dodatnia dla a ∈ (2,+ ∞ ) . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale (0,2⟩ i rosnąca w przedziale ⟨2,+ ∞ ) . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla a = 2 . Wysokość prostopadłościanu jest wtedy równa