Zadanie nr 7200162

Zakład produkcyjny dostał zlecenie produkcji prostopadłościennych pudełek (całkowicie otwartych od góry) o objętości 60,75 litra. Dno pudełka ma być kwadratem i żaden z jego wymiarów nie może przekraczać 67,5 cm. Na koszt wykonania pudełka składają się – koszt wykonania 1 cm 2 dna w wysokości 48 gorszy oraz koszt wykonania 2 1 cm ściany bocznej w wysokości 36 groszy. Oblicz wymiary pudełka, dla których koszt jego produkcji będzie najmniejszy.

Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup.

Zapiszmy podaną informację o objętości graniastosłupa – 60,75 litra to 60 750 cm 3 .

60750 = a2 ⋅H ⇒ H = 60750-. a2

Koszt wykonania takiego pudełka jest więc równy

2 K(a) = a ⋅48 + 4 ⋅aH ⋅ 36 = ( 182250 ) = 4 8(a2 + 3aH ) = 48 ⋅ a2 + ------- . a

Wystarczy więc znaleźć wartość najmniejszą funkcji

1 82250 f(a) = a2 + ------- . a

Aby ustalić jaka jest dziedzina tej funkcji musimy wykorzystać podaną informację o maksymalnej długości krawędzi prostopadłościanu. Mamy zatem a ≤ 6 7,5 i

60750 67,5 ≥ H = ---2-- a a2 ≥ 607-50 = 90 0 = 302 67,5 a ≥ 30.

Dziedziną funkcji jest więc przedział ⟨30; 67 ,5⟩ . Liczymy pochodną

− 182 250 2a3 − 182250 a3 − 91125 f′(a) = 2a + -----2--- = ------2------= 2⋅ -----2-----. a a a

Zauważmy jeszcze, że

3 3 3 91 125 = 125 ⋅72 9 = 5 ⋅ 9 = 45 .

Zatem

a3 − 91125 a3 − 453 f′(a) = 2 ⋅-----2-----= 2⋅ ----2---- a a

i widać, że pochodna ma jedno miejsce zerowe a = 45 . W punkcie tym pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc funkcja maleje w przedziale (3 0,45⟩ i rośnie w przedziale ⟨45; 67 ,5) . Najmniejszy koszt wykonania pojemnika otrzymamy więc dla a = 45 . Wysokość pojemnika jest wtedy równa