Zadanie nr 8124674
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 27, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:3 oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 52. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez długości krawędzi prostopadłościanu.
Z podanej objętości mamy

Zapiszmy jeszcze warunek z sumą długości wszystkich krawędzi mniejszą od 52.

Aby rozwiązać tę nierówność musimy najpierw rozłożyć prawą stronę na czynniki. Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków prawej strony jest . Dzielimy więc ten wielomian przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

Mamy zatem nierówność

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości , mamy stąd
.
Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

Dziedziną tej funkcji jest przedział .
Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji określonej dla
. Liczymy pochodną

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla i dodatnia dla
. To oznacza, że funkcja
jest malejąca w przedziale
i rosnąca w przedziale
. Najmniejsze pole otrzymamy więc dla
. Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości
i

Odpowiedź: dla
, długości krawędzi:
.