Zadanie nr 9104646
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż .
-
Wykaż, że pole
powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości
krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
-
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez wysokość graniastosłupa.
-
Z podanej objętości mamy
Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej.
-
Zauważmy, że
Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji
określonej dla
. Liczymy pochodną
Ponieważ
,
na przedziale
. To oznacza, że
jest funkcją malejącą na tym przedziale i najmniejsze pole powierzchni całkowitej otrzymamy dla
. Pole powierzchni całkowitej jest wtedy równe
Odpowiedź:,
.