/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 9104646

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż √ -- 8 3 .

  • Wykaż, że pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

    √ -- √ -- a2-⋅--3 138-24--3 P (a) = 2 + a .

  • Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez H wysokość graniastosłupa.

ZINFO-FIGURE

  • Z podanej objętości mamy

    √ -- √ -- a2 3 13824 138 24 3 345 6 = ------⋅H ⇒ H = --√---= -----2---. 4 a2 3 3a

    Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej.

    2√ -- 2√ -- √ -- P(a) = 2 ⋅ a--3-+ 3aH = a---3-+ 13824--3-. 4 2 a

  • Zauważmy, że

    √ -- √ -- a2 3 13 824 3 √ -( a2 1 3824) P(a) = ------+ --------- = 3 ---+ ------ . 2 a 2 a

    Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji

    2 f(a ) = a--+ 13-824, 2 a

    określonej dla -- a ∈ (0,8√ 3] . Liczymy pochodną

    3 3 3 f′(a) = a− 1382-4 = a--−-138-24 = a--−-24--. a2 a2 a2

    Ponieważ √ -- 8 3 < 24 , ′ f (x) < 0 na przedziale √ -- (0 ,8 3] . To oznacza, że f jest funkcją malejącą na tym przedziale i najmniejsze pole powierzchni całkowitej otrzymamy dla √ -- a = 8 3 . Pole powierzchni całkowitej jest wtedy równe

    √ -- √ --( 2 ) √ --( ) P (8 3) = 3 a--+ 13-824 = 3 192-+ 13√824 = 2 a 2 8 3 √ --( 1728 ) √ -- = 3 96+ -√--- = 96 3 + 1728 . 3

     
    Odpowiedź: √ -- a = 8 3 , √ -- Pmin = 96 3+ 1728 .

Wersja PDF