/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 9559800

Puszka konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy powinna mieć ta puszka, aby przy objętości puszki 250π cm 3 zużyć jak najmniej materiału na jej wykonanie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Narysujmy sobie taką puszkę i oznaczmy jej wysokość i promień przez i odpowiednio.

Z podanej objętości mamy

πr 2H = 250π ⇒ H = 250. r2

Obliczmy pole powierzchni puszki

( 25 0) P = 2πr 2 + 2 πrH = 2 π r2 + ---- . r

Musimy zatem wyznaczyć wartość najmniejszą funkcji 250 P (r) = r2 + -r- na przedziale (0 ,∞ ) . Liczymy pochodną

′ 250- r3 −-125- (r−-5-)(r2-+-5r-+-25)- P (r) = 2r − r2 = 2 ⋅ r2 = r2 .

Widzimy zatem, że na przedziale (0,5) pochodna jest ujemna, czyli P (r) maleje, a w przedziale (5,+ ∞ ) pochodna jest dodatnia, czyli P(r) rośnie. Zatem najmniejszą możliwą wartość P(r) otrzymamy dla r = 5 . Wtedy