Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9559800

Puszka konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy powinna mieć ta puszka, aby przy objętości puszki 250π cm 3 zużyć jak najmniej materiału na jej wykonanie.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Narysujmy sobie taką puszkę i oznaczmy jej wysokość i promień przez H i r odpowiednio.


PIC


Z podanej objętości mamy

πr 2H = 250π ⇒ H = 250. r2

Obliczmy pole powierzchni puszki

 ( 25 0) P = 2πr 2 + 2 πrH = 2 π r2 + ---- . r

Musimy zatem wyznaczyć wartość najmniejszą funkcji  250 P (r) = r2 + -r- na przedziale (0 ,∞ ) . Liczymy pochodną

 ′ 250- r3 −-125- (r−-5-)(r2-+-5r-+-25)- P (r) = 2r − r2 = 2 ⋅ r2 = r2 .

Widzimy zatem, że na przedziale (0,5) pochodna jest ujemna, czyli P (r) maleje, a w przedziale (5,+ ∞ ) pochodna jest dodatnia, czyli P(r) rośnie. Zatem najmniejszą możliwą wartość P(r) otrzymamy dla r = 5 . Wtedy

 250 H = --2-= 10. r

 
Odpowiedź: r = 5 cm , H = 10 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!