/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 1307035

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe?

Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup czworokątny.

PIC

Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a , a długość krawędzi bocznej przez b . Pole powierzchni całkowitej jest więc równe

Pc = 2a2 + 4ab

Wiemy ponadto, że

8a + 4b = 1 6 ⇒ b = 4 − 2a.

Podstawiamy to wyrażenie do wzoru na pole całkowite.

Pc = 2a2 + 4ab = 2a2 + 4a(4 − 2a ) = 2a2 + 16a − 8a2 = ( 8 ) = 16a− 6a2 = 6a --− a . 3

Wykresem powyższej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych a1 = 0, a2 = 83 . Największą wartość pola otrzymamy więc w wierzchołku tej paraboli, czyli dokładnie w środku między pierwiastkami.

a + a 0 + 8 4 a = -1---2-= ----3-= -. 2 2 3

 
Odpowiedź: 4 3

Wersja PDF