Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1307035

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup czworokątny.


PIC


Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a , a długość krawędzi bocznej przez b . Pole powierzchni całkowitej jest więc równe

Pc = 2a2 + 4ab

Wiemy ponadto, że

8a + 4b = 1 6 ⇒ b = 4 − 2a.

Podstawiamy to wyrażenie do wzoru na pole całkowite.

Pc = 2a2 + 4ab = 2a2 + 4a(4 − 2a ) = 2a2 + 16a − 8a2 = ( 8 ) = 16a− 6a2 = 6a --− a . 3

Wykresem powyższej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych a1 = 0, a2 = 83 . Największą wartość pola otrzymamy więc w wierzchołku tej paraboli, czyli dokładnie w środku między pierwiastkami.

 a + a 0 + 8 4 a = -1---2-= ----3-= -. 2 2 3

 
Odpowiedź: 4 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!