Zadanie nr 1599032

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi bocznej równej 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z tych ostrosłupów, dla którego pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa jest największe możliwe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Niech będzie środkiem kwadratu w podstawie ostrosłupa oraz i niech będą środkami krawędzi i . Oznaczmy też przez długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Przekrój EF S jest trójkątem równoramiennym o podstawie

-- 1 √ 2 EF = --DB = ---x. 2 2

Jego wysokość możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego SLK .

----------- ∘ --------------(------)-2 ∘ 2 2 2 2 1- SL = SK + LK = SA − AK + 2 AK = ∘ --------------- ∘ -------- 1- 2 1-2 3- 2 = 9 − 2x + 8x = 9− 8x .

Pole trójkąta SEF jest więc równe

√ -- ∘ -------- √ --∘ ---------- 1- 1- --2- 3- 2 --6- 2 1- 4 PSEF = 2 ⋅EF ⋅SL = 2 ⋅ 2 x⋅ 9 − 8x = 4 3x − 8 x .

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji

1 f(x ) = 3x2 − --x4 8

określonej dla x ∈ (0,3√ 2) (bo musi być spełniony warunek SA > AK ). Liczymy pochodną

1 1 1 √ -- √ -- f′(x) = 6x − -x3 = − -x(x 2 − 1 2) = −-x (x− 2 3)(x + 2 3). 2 2 2

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla √ -- x ∈ (0,2 3) i ujemna dla √ -- √ -- x ∈ (2 3,3 2) . To oznacza, że funkcja y = f(x) rośnie w przedziale √ -- (0,2 3⟩ i maleje w przedziale √ -- √ -- ⟨2 3 ,3 2) . W takim razie pole trójkąta SEF jest największe jeżeli √ -- x = 2 3 . Pozostało obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.