Zadanie nr 1599032
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi bocznej równej 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z tych ostrosłupów, dla którego pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa jest największe możliwe.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Niech będzie środkiem kwadratu w podstawie ostrosłupa oraz
i
niech będą środkami krawędzi
i
. Oznaczmy też przez
długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Przekrój
jest trójkątem równoramiennym o podstawie

Jego wysokość możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego
.

Pole trójkąta jest więc równe

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji

określonej dla (bo musi być spełniony warunek
). Liczymy pochodną

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla
. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. W takim razie pole trójkąta
jest największe jeżeli
. Pozostało obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

Odpowiedź: