Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1599032

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi bocznej równej 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z tych ostrosłupów, dla którego pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa jest największe możliwe.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Niech K będzie środkiem kwadratu w podstawie ostrosłupa oraz E i F niech będą środkami krawędzi DC i CB . Oznaczmy też przez x długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Przekrój EF S jest trójkątem równoramiennym o podstawie

 -- 1 √ 2 EF = --DB = ---x. 2 2

Jego wysokość SL możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego SLK .

 ----------- ∘ --------------(------)-2 ∘ 2 2 2 2 1- SL = SK + LK = SA − AK + 2 AK = ∘ --------------- ∘ -------- 1- 2 1-2 3- 2 = 9 − 2x + 8x = 9− 8x .

Pole trójkąta SEF jest więc równe

 √ -- ∘ -------- √ --∘ ---------- 1- 1- --2- 3- 2 --6- 2 1- 4 PSEF = 2 ⋅EF ⋅SL = 2 ⋅ 2 x⋅ 9 − 8x = 4 3x − 8 x .

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji

 1 f(x ) = 3x2 − --x4 8

określonej dla x ∈ (0,3√ 2) (bo musi być spełniony warunek SA > AK ). Liczymy pochodną

 1 1 1 √ -- √ -- f′(x) = 6x − -x3 = − -x(x 2 − 1 2) = −-x (x− 2 3)(x + 2 3). 2 2 2

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla  √ -- x ∈ (0,2 3) i ujemna dla  √ -- √ -- x ∈ (2 3,3 2) . To oznacza, że funkcja y = f(x) rośnie w przedziale  √ -- (0,2 3⟩ i maleje w przedziale  √ -- √ -- ⟨2 3 ,3 2) . W takim razie pole trójkąta SEF jest największe jeżeli  √ -- x = 2 3 . Pozostało obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

Pp = x 2 = 12 1 ∘ ------------ √ -- √ ------ √ --√ -- √ -- Pb = 4 ⋅--⋅DC ⋅SE = 2x ⋅ SD 2 − DE 2 = 4 3 ⋅ 9 − 3 = 4 3⋅ 6 = 12 2 2 √ -- Pc = Pp + Pb = 12 + 12 2.

 
Odpowiedź:  √ -- 12 + 12 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!