Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2870137

Trójkąt równoramienny o obwodzie 12 obraca się wokół swojej osi symetrii. Oblicz dla jakich długości boków trójkąta otrzymamy stożek, w którym różnica między polem powierzchni bocznej, a polem podstawy jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli oznaczmy długość ramienia trójkąta przez x , to podstawa ma długość 12 − 2x i wyniku obrotu otrzymamy stożek o promieniu podstawy r = 12−22x= 6 − x i tworzącej długości l = x .


PIC


Zauważmy jeszcze, że musi być x > 3 (żeby ramię było dłuższe od połowy podstawy) oraz x < 6 .

Różnica między polem powierzchni bocznej, a polem podstawy otrzymanego stożka jest równa

 2 P(x ) = πrl − πr = πr(l − r) = π (6− x)(x − 6+ x) = 2π (6 − x)(x − 3),

gdzie x ∈ (3,6) . Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Jej wierzchołek znajduje się dokładnie między pierwiastki, czyli największą różnicę pól otrzymamy dla  3+6- 9 x = 2 = 2 , czyli dla  3 r = 6 − x = 2 .

Pozostało obliczyć objętość stożka. Jego wysokość jest równa

 ∘ -------------- ∘ ----------- 2 2 ∘ -2----------------2 9- √ --- √ -- H = x − (6 − x ) = x − 36 + 12x − x = 12 ⋅2 − 3 6 = 18 = 3 2.

Liczymy objętość.

 √ -- √ -- V = 1-⋅πr2 ⋅H = 1-⋅π ⋅ 9-⋅3 2 = 9--2π-. 3 3 4 4

 
Odpowiedź: Boki trójkąta: 92, 92,3 , objętość:  - 9√-2π 4 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!