Zadanie nr 5315224
Suma krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 3. Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe?
Rozwiązanie
Szkicujemy graniastosłup trójkątny.
Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez , a długość krawędzi bocznej przez
. Pole powierzchni całkowitej jest więc równe

Wiemy ponadto, że

Ten rachunek ma sens o ile , czyli dla
. Podstawiamy otrzymane wyrażenie do wzoru na pole całkowite.

dla . Wykresem powyższej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku tej paraboli, czyli dla

Łatwo sprawdzić, że

Odpowiedź: