/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 5315224

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Suma krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 3. Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe?

Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup trójkątny.


ZINFO-FIGURE


Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a , a długość krawędzi bocznej przez b . Pole powierzchni całkowitej jest więc równe

 √ -- √ -- a 2 3 a2 3 Pc = 2 ⋅------+ 3ab = -----+ 3ab. 4 2

Wiemy ponadto, że

6a+ 3b = 3 ⇒ b = 1− 2a.

Ten rachunek ma sens o ile 1 − 2a > 0 , czyli dla  1 a < 2 . Podstawiamy otrzymane wyrażenie do wzoru na pole całkowite.

 √ -- √ -- a2--3- a2--3- 2 Pc = 2 + 3a (1− 2a) = 2 + 3a − 6a = √ -- = 3a − 12-−---3-⋅a2, 2

dla  ( 1) a ∈ 0,2 . Wykresem powyższej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku tej paraboli, czyli dla

 √ -- √ -- a = -----−-3√----= 3(12-+---3)-= 12-+---3-. − (12 − 3) 144 − 3 47

Łatwo sprawdzić, że

 √ -- ( ) 12+ 3 1 ---------≈ 0,29 ∈ 0, -- . 47 2

 
Odpowiedź: 12+ √3 --47--

Wersja PDF
spinner