Zadanie nr 5953809
W stożek o promieniu podstawy 6 i wysokości 8 wpisujemy graniastosłupy prawidłowe sześciokątne tak, że jedna podstawa jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki należą do powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość graniastosłupa o największym polu powierzchni bocznej.
Rozwiązanie
Gdy narysujemy rysunek staje się jasne, że wystarczy rozważać przekrój 
.
Z podobieństwa trójkątów 
i 
mamy
Stąd pole powierzchni bocznej graniastosłupa
Jako funkcja zmiennej 
jest to parabola o ramionach skierowanych w dół, więc wartość największą osiąga w wierzchołku, czyli dla 
(dokładnie w środku między pierwiastkami). Wtedy
Pozostało policzyć objętość graniastosłupa (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).
Odpowiedź: 
