/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 5953809

W stożek o promieniu podstawy 6 i wysokości 8 wpisujemy graniastosłupy prawidłowe sześciokątne tak, że jedna podstawa jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki należą do powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość graniastosłupa o największym polu powierzchni bocznej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Gdy narysujemy rysunek staje się jasne, że wystarczy rozważać przekrój ABC .

PIC

Z podobieństwa trójkątów AF C i DEC mamy

AF-- = DE-- FC EC 6- --a--- 8 = 8 − h 3 a = -(8 − h). 4

Stąd pole powierzchni bocznej graniastosłupa

3 P = 6ah = 6 ⋅-(8 − h)h . 4

Jako funkcja zmiennej h jest to parabola o ramionach skierowanych w dół, więc wartość największą osiąga w wierzchołku, czyli dla h = 4 (dokładnie w środku między pierwiastkami). Wtedy

3 a = -(8− h) = 3. 4

Pozostało policzyć objętość graniastosłupa (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

2√ -- √ -- √ -- V = 6 ⋅ a---3⋅ h = 6 ⋅ 9-3-⋅4 = 5 4 3. 4 4

 
Odpowiedź: √ -- V = 54 3

Wersja PDF