Spodek wysokości ostrosłupa ABCDS pokrywa się ze środkiem rombu... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Największe pole, 7900319

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 7900319

Spodek wysokości ostrosłupa $ABCDS$ pokrywa się ze środkiem rombu $ABCD$ w jego podstawie oraz $|BD | = 2|AC |$ , $|AS |2 + |AD |2 = 4$ . Oblicz objętość ostrosłupa $ABCDS$ jeżeli wiadomo, że pole trójkąta $BDS$ jest największe możliwe.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Niech $E$ będzie środkiem rombu w podstawie i oznaczmy $AE = CE = x$ , $DE = BE = 2x$ . Przekątne rombu są prostopadłe, więc

AD 2 = AE 2 + DE 2 = x2 + (2x)2 = 5x 2

AS 2 = 4− AD 2 = 4− 5x2.

Stąd

∘ ------------ ∘ ------------- ∘ -------- SE = AS 2 − AE 2 = 4− 5x2 − x2 = 4 − 6x 2.

Pole trójkąta $BDS$ jest więc równe

-------- ---------- 1- ∘ 2 ∘ 2 4 PBDS = 2DB ⋅SE = 2x ⋅ 4 − 6x = 2 4x − 6x .

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji

f(x ) = 4x2 − 6x4,

której dziedziną jest $( ∘ -) x ∈ 0, 23$ (bo $SE 2 = 4− 6x2 > 0$ ). Liczymy pochodną

( ) ( √ -) ( √ --) f ′(x) = 8x− 24x3 = − 2 4x x2 − 1- = −2 4x x − --3- x + --3- 3 3 3

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla $( √ 3) x ∈ 0,-3-$ i ujemna dla $( √ - ∘ --) x ∈ -33, 23$ . To oznacza, że funkcja $y = f (x)$ rośnie w przedziale $( -⟩ √-3 0, 3$ i maleje w przedziale $⟨ - ∘ --) √-3 2 3 , 3$ . W takim razie pole trójkąta $BDS$ jest największe jeżeli $√-3 x = 3$ . Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa w tym przypadku.