Zadanie nr 9937560
Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 216. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Jeżeli oznaczymy krawędź podstawy przez , a wysokość graniastosłupa przez
, to suma wszystkich krawędzi jest równa
![2 16 = 12a + 6H ⇒ H = 36− 2a.](https://img.zadania.info/zad/9937560/HzadR3x.gif)
Pole powierzchni bocznej jest więc równe
![Pb(a) = 6 ⋅aH = 6a (36− 2a) = − 12a(a − 18 ).](https://img.zadania.info/zad/9937560/HzadR4x.gif)
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie . Zatem największe pole boczne otrzymamy dla
i
.
Odpowiedź: Krawędź podstawy: 9, wysokość: 18