Zadanie nr 9963310

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12.

Napisz wzór funkcji wyrażającej pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, w zależności od długości krawędzi podstawy . Podaj dziedzinę funkcji .
Wyznacz długości krawędzi graniastosłupa, dla których pole powierzchni całkowitej jest największe.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

Z warunku na sumę długości wszystkich krawędzi otrzymujemy

8x + 4H = 12 / : 4 2x + H = 3 ⇒ H = 3 − 2x.

Liczymy pole powierzchni całkowitej
$2 2 P(x) = 2x + 4Hx = 2x + 4 (3− 2x )x = = 2x2 + 12x − 8x2 = −6x 2 + 12x = 6x (2− x).$

Oczywiście musi być oraz . Drugą z tych nierówności możemy zapisać w postaci:

$3- 0 < H < 3 − 2x ⇐ ⇒ 2x < 3 ⇐ ⇒ x ≤ 2 .$

Zatem dziedziną jest zbiór .
Odpowiedź: , dziedzina:
Musimy znaleźć największą wartość funkcji . Jest to trójmian kwadratowy o ujemnym współczynniku przy najwyższej potędze, więc jego wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość pola otrzymamy zatem w wierzchołku, czyli dokładnie w środku między pierwiastkami. Pierwiastkami funkcji są liczby 0 i 2, więc największą wartość pola otrzymamy dla
$2+--0- x = 2 = 1.$

Wtedy .
Odpowiedź: