/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny

Zadanie nr 2501194

Przekątne trapezu równoramiennego ABCD przecinają się w punkcie S . Przekątna AC tworzy z dłuższą podstawą AB kąt α i z ramieniem AD kąt β takie, że sin α = 35 i sinβ = 153 . Pole trapezu ABCD jest równe 448. Oblicz pole trójkąta ABD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od rysunku.

PIC

Trójkąty ABS i CDS mają równe kąty, więc są podobne. Spróbujmy, korzystając z podanych sinusów, obliczyć skalę k = ab ich podobieństwa. Zrobimy to stosując twierdzenie sinusów w trójkącie ASD , ale najpierw zauważmy, że

sin ∡ADS = sin(180∘ − α − β − α) = sin(2α + β) = sin 2α cosβ + sin β cos2α = = 2 sin α cosα cos β+ sin β(1 − 2 sin 2α).

Do dokończenia tego rachunku potrzebujemy jeszcze

∘ ---------- ∘ ----9-- 4 cos α = 1 − sin2 α = 1− ---= -- ∘ ----25-- 5 ∘ ---------- 25 12 cos β = 1 − sin2 β = 1− ----= --. 169 13

Mamy zatem

sin ∡ADS = 2 sin α cosα cosβ + sin β(1 − 2 sin 2α) = ( ) 3- 4- 12- -5- 18- 288-+-35- 323- = 2 ⋅5 ⋅5 ⋅ 13 + 13 ⋅ 1− 25 = 32 5 = 325 .

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ASD .

AS DS -----------= ----- sin ∡ADS sinβ k⋅DS DS 323 13 323 -323--= -5-- ⇒ k = ----⋅ ---= ---. 325 13 325 5 125

To pozwala nam obliczyć pole trójkąta ABD .

ah a 323 -PABD--= ---2-- = --a---= ---b--= --k---= --125-- = 3-23 PABCD (a+b)h a+ b ab + 1 k + 1 323+ 1 4 48 2 125 P = 323-⋅P = 32-3⋅ 448 = 323 . ABD 448 ABCD 44 8

 
Odpowiedź: PABD = 323

Wersja PDF