/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny

Zadanie nr 5181853

W trapezie równoramiennym ABCD przekątna BD jest prostopadła do ramienia AD (zobacz rysunek). Podstawy trapezu mają długość: |AB | = 8 cm i |CD | = 4 cm . Oblicz pole oraz miary kątów trapezu.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości trapezu

PIC

Zauważmy, że

AE = FB = AB--−-DC--= 2. 2

Ponadto trójkąty AED i DEB są podobne (bo oba są podobne do trójkąta ADB ). Zatem

AE-- = DE-- ⇒ DE 2 = AE ⋅ EB = 2⋅ 6 = 12. DE EB

Stąd √ --- √ -- DE = 1 2 = 2 3 i pole trapezu jest równe

4 + 8 √ -- √ -- P = ------⋅2 3 = 12 3. 2

Aby obliczyć miary kątów zauważmy, że

DE 2 √ 3- √ -- tg∡A = ---- = ----- = 3, AE 2

czyli ∘ ∡A = 60 . Zatem ∘ ∘ ∡D = 1 80 − ∡A = 12 0 .  
Odpowiedź: √ -- P = 12 3 cm 2 , 60∘ i 1 20∘

Wersja PDF