/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Równoramienny

Zadanie nr 7759540

Ramię trapezu równoramiennego ma długość 12 cm. Kąt ostry tego trapezu ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt rozwarty, a przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez α kąt ostry trapezu, to kąt rozwarty trapezu ma miarę 2α i mamy

α+ 2α = 18 0∘ ⇒ α = 6 0∘.

Oznaczmy AB = a oraz CD = b . Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny ABC .

BC-- ∘ AB = cos60 12 1 ---= -- ⇒ a = 24. a 2

Z trójkąta prostokątnego BF C obliczamy wysokość trapezu oraz długość odcinka BF .

√ -- √ -- -h-= sin 60∘ = --3- ⇒ h = 6 3 12 2 FB- ∘ 1- 1 2 = co s60 = 2 ⇒ F B = 6.

Z drugiej strony

AB--−-EF-- a−--b- 24-−-b- FB = 2 = 2 = 2 .

Mamy więc

24 − b 6 = FB = ------- / ⋅2 2 1 2 = 24 − b ⇒ b = 12.

Pozostało obliczyć pole trapezu.

√ -- √ -- √ -- P = a-+-b-⋅h = 24+--12-⋅6 3 = 18 ⋅6 3 = 108 3. 2 2

 
Odpowiedź: √ -- 108 3

Wersja PDF