Zadanie nr 9758449

W trapezie równoramiennym długość krótszej podstawy wynosi 9 cm, przekątnej 17 cm a ramienia 10 cm. Oblicz jego pole.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Od razu narysowaliśmy na nim dwie wysokości trapezu, które okażą się pomocne w rozwiązaniu.

Sposób I

Jeżeli popatrzymy na trójkąty prostokątne AED i EBD , to w każdym z nich długości boków możemy zapisać przy pomocy dwóch niewiadomych i oraz znanych nam liczb. W takim razie, jeżeli napiszemy twierdzenia Pitagorasa w tych trójkątach, to będziemy mieli dwa równania i dwie niewiadome, czyli w sam raz. Liczymy

{ 2 2 2 AE + ED = AD DE 2 + EB 2 = DB 2 { x2 + h2 = 100 2 2 h + (9 + x ) = 289.

Odejmijmy teraz od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić 2 h )

2 2 81 + 1 8x+ x − x = 189 18x = 108 x = 6.

Stąd √ --------2 √ --- h = 10 0− x = 64 = 8 oraz AB = 9+ 2x = 21 .

Mając obie podstawy i wysokość liczymy pole.

9 + 21 P = -------⋅8 = 120. 2

Sposób II

Jeżeli popatrzymy na trójkąt BCD , to mamy dane wszystkie jego boki. Jeżeli mamy wszystkie boki trójkąta, to możemy w nim wyliczyć co tylko chcemy (przynajmniej teoretycznie, bo czasami mogą to być nieprzyjemne rachunki). W szczególności możemy wyliczyć jego wysokość opuszczoną na bok – jest to jednocześnie wysokość trapezu. Jak już będziemy mieli tę wysokość, to z trójkąta AED wyliczymy odcinek AE = x , co da nam długość podstawy i będziemy mieli pole.