Zadanie nr 2138987

Wyznacz wszystkie wartości , dla których równanie m ⋅16x + (2m − 1)⋅4x + 2 − 3m = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Rozwiązanie

Jeżeli podstawimy x 4 = t to mamy równanie

2 mt + (2m − 1)t+ 2− 3m = 0.

Jeżeli m = 0 to mamy równanie x t = 4 = 2 , które ma rozwiązanie 1 x = 2 , dlatego załóżmy dalej, że m ⁄= 0 .

Jeżeli zapiszemy równość 4x = t w postaci

log 4x = log t ⇒ x = log t, 4 4 4

to widać, że równanie nie będzie miało rozwiązań, gdy powyższe równanie kwadratowe nie ma rozwiązań lub gdy rozwiązania są niedodatnie.

Sprawdźmy najpierw kiedy Δ < 0 .

2 2 2 0 > Δ = (2m − 1) − 4m (2− 3m ) = 4m − 4m + 1 − 8m + 12m 0 > 16m 2 − 12m + 1 Δ = 144 − 64 = 8 0 = 16 ⋅5 12 − 4√ 5- 3 − √ 5- 12 + 4√ 5- 3 + √ 5- m 1 = ----------= --------, m 2 = ----------= -------- ( 32√ -- √ -8) 32 8 3− 5 3 + 5 m ∈ -------,-------- 8 8

Jeżeli Δ ≥ 0 to sprawdzamy ze wzorów Viéte’a, kiedy rozwiązania są niedodatnie.

( ⟩ 0 ≤ t t = 2-−-3m- ⇒ m ∈ 0, 2 1 2 m 3 ⟨ ) 0 ≥ t1 + t2 = − 2m-−-1- ⇒ m ∈ (− ∞ ,0)∪ 1-,+∞ m 2 ⟨ 1 2⟩ m ∈ --,-- 2 3

Ponieważ

√ -- 3-−---5-≈ 0,1 8√ -- 3 + 5 --------≈ 0,65, 8

( ⟩ 3 − √ 5- 2 m ∈ -------, -- . 8 3

Odpowiedź: ( √- ⟩ m ∈ 3−--5, 2 8 3