Zadanie nr 4924794

Dane jest równanie -1 |2x − 4| = p z parametrem . Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru .

Rozwiązanie

Sposób I

W miarę łatwo jest narysować wykres lewej strony równania. Zaczynamy od −x y = 2 , potem przesuwamy go o 4 jednostki w dół i część pod osią zaginamy do góry.

Z wykresu widać, że równanie nie ma rozwiązań dla p < 0 , ma dwa rozwiązania dla p ∈ (0,4) , i ma jedno rozwiązanie dla p = 0 lub p ≥ 4 .

Sposób II

Zadanie możemy też rozwiązać algebraicznie. Równanie |x| = p nie ma rozwiązań jeżeli p < 0 , ma jedno rozwiązanie x = 0 jeżeli p = 0 , i ma dwa rozwiązania x = ±p jeżeli p > 0 .

Zgodnie z powyższą uwagą, dane równanie nie ma rozwiązań dla p < 0 . Druga możliwość, to p = 0 , czyli

1 1 -x-− 4 = 0 ⇒ 2x = -- ⇒ x = − 2 . 2 4

Mamy wtedy jedno rozwiązanie.

Ostatnia możliwość to p > 0 . Mamy wtedy -1 2x − 4 = −p lub -1 2x − 4 = p . To daje nam dwa rozwiązania chyba, że akurat któraś z tych równości jest sprzeczna. Jeżeli zapiszemy je w postaci