Zadanie nr 2786137
W trapezie o podstawach i przez punkt przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków i . Prosta równoległa do boku przecina bok w punkcie , a prosta równoległa do boku przecina bok w punkcie . Wykaż, że .
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Zauważmy, że jeżeli przekątne trapezu przecinają się w punkcie , to trójkąty i mają takie samy kąty, więc są podobne. W szczególności, jeżeli oznaczymy przez skalę ich podobieństwa, to
Sposób I
Zauważmy, że wystarczy udowodnić, że , bo wtedy
Aby to zrobić patrzymy na dwie pary trójkątów podobnych: i . Pierwsze podobieństwo daje nam:
Analogicznie, drugie podobieństwo daje nam
Zatem rzeczywiście .
Sposób II
Oznaczmy , i . Musimy oczywiście pokazać, że .
Proste i są równoległe, więc na mocy twierdzenia Talesa mamy
Analogicznie, z równoległości prostych i mamy
W takim razie
Wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie, więc mamy stąd .