/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny

Zadanie nr 3814472

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Pole trapezu jest równe S , a stosunek długości jego podstaw wynosi k . Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i załóżmy, że AB : CD = k .

PIC

Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów ABS i DSC . W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. Informacja ta oznacza w szczególności, że stosunki pól

S 1 : S3 = S1 : S4 = S3 : S2 = S4 : S 2

są równe k . Aby to zobaczyć, popatrzmy na trójkąty BSA i SDA . Mają one wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A , a stosunek długości podstaw to BS : SD , czyli dokładnie skala podobieństwa trójkątów ABS i CDS . Podobnie uzasadniamy pozostałe równości. Morał z tego jest taki, że wszystkie pola możemy wyliczyć w zależności od jednego z nich, np. od S 2 . Mamy

S = S = kS 3 4 2 S1 = kS3 = k2S2.

Stąd

2 2 ---S---- S = S 1+ S2 + S3 + S4 = k S 2+ kS2 + kS2 + S2 = (k + 1) S2 ⇒ S 2 = (k+ 1)2.

 
Odpowiedź: 2 (k+S1)2,(kk+S1)2,(k+kS1)2, (kk+-S1)2-

Wersja PDF