Zadanie nr 7818635

Trapez, w którym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, podzielono odcinkiem łączącym środki ramion trapezu na dwa czworokąty. Oblicz stosunek pól otrzymanych czworokątów.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku

Sposób I

Jak wiadomo odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa) i ma długość równą średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu. W wyniku podziału otrzymaliśmy więc dwa trapezy oraz

a+ 2a 3 F E = -------= --a. 2 2

W takim razie stosunek pól trapezów jest równy

2a+-32a- h 3 7 PABEF--= --2---⋅2-= 2-+-2-= 2-= 7. PFECD a+32a-⋅ h 1 + 32 52 5 2 2

Sposób II

Jeżeli nie pamiętamy wzoru na długość odcinka łączącego środki ramion trapezu, możemy sobie poradzić następująco. Poprowadźmy odcinek równoległy do ramienia . W ten sposób podzieliliśmy wyjściowy trapez na dwa równoległoboki, trapez i trójkąt. Oznaczmy pole trójkąta przez . Trójkąt CHE jest podobny do trójkąta CGB w skali 1:2 więc jego pole stanowi 1 4 pola trójkąta CGB . Zatem pole trapezu GBEH musi być równe . Teraz zauważmy, że trójkąt GBC i równoległobok AGCD mają równe podstawy i wysokości, więc pole AGCD jest dwa razy większe od pola trójkąta CGB , czyli jest równe . To oznacza, że pola równoległoboków AGHF i FHCD są równe i szukany stosunek pól jest równy