Zadanie nr 8227244

Podstawy trapezu mają długości 9 i 12. Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ABS i CDS są podobne (maja równe kąty) i skala ich podobieństwa jest równa

k = AB--= 12-= 4. CD 9 3

Stąd

AS--= k = 4- ⇒ SC = 3AS SC 3 4 BS-- 4- 3- SD = k = 3 ⇒ SD = 4 BS .

To pozwala obliczyć jaką cześć przekątnych i stanowią odcinki i .

3- 7- 4- AC = AS + SC = AS + 4 AS = 4 AS ⇒ AS = 7AC 3 7 4 BD = BS + SD = BS + -BS = -BS ⇒ BS = --BD . 4 4 7

Z drugiej strony 1 AK = 2AC i 1 BL = 2BD . Stąd

KS-- AS--−-AK-- -47AC--−-12AC-- -114- 1- AS = AS = 4 AC = 4 = 8 7 7 LS BS − BL 47 BD − 12BD 114 1 BS-= ---BS----= ----4--------= -4-= 8. 7BD 7

Trójkąt KLS jest więc podobny do trójkąta ABS w skali 1:8. Stąd

1 1 3 KL = -AB = --⋅12 = -. 8 8 2

Sposób II

Niech i będą punktami wspólnymi prostej (przechodzącej przez środki przekątnych) i ramion trapezu. Zauważmy, że na mocy twierdzenia Talesa

AE BF AK ----= ----= ----= 1 . ED FC KC

Punkty i są więc środkami ramion trapezu. W takim razie odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie ABC . Stąd

1 KF = --AB = 6. 2

Podobnie, odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie BCD . Stąd

1 9 LF = -DC = -- 2 2 KL = KF − LF = 6− 9-= 3-. 2 2

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że przedłużenie odcinka przecina ramiona trapezu w ich środkach i . Jak wiadomo odcinek ma długość 9+212-= 212- . Odcinki i są odcinkami łączącymi środki boków odpowiednio w trójkątach DAC i DBC . Zatem EK = LF = 1DC = 9 2 2 . Mamy zatem