Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3005315

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zaczynamy od rysunku.


PIC

Trapez wpisany w okrąg musi być równoramienny, oznaczmy długość jego ramienia przez x . Mamy zatem

2a-+-2R-+--2x-= 3- 2a+ 2R 2 --x--- 1- a + R = 2 1 x = -(a+ R). 2

Napiszmy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AOD .

 2 2 2 DO = AO + AD − 2AO ⋅ AD cos∡A 2 2 1- 2 R = R + 4(a + R ) − R(a + R )cos ∡A 1 R(a + R )cos ∡A = -(a + R )2 4 cos ∡A = a--+ 1. 4R 4

Aby wyliczyć iloraz aR- , napiszmy twierdzenie Pitagorasa w trójkątach AED i EOD .

AD 2 = AE 2 + ED 2 = AE 2 + DO 2 − EO 2 1 -(a + R )2 = (R − a)2 + R2 − a2 4 a2 + 2aR + R 2 = 8R2 − 8aR 2 2 2 a + 10aR − 7R = 0 / : R (-a) 2 a- R + 1 0⋅ R − 7 = 0 2 t + 10t − 7 = 0,

gdzie  a t = R- . Dalej, Δ = 10 0+ 2 8 = 64 ⋅2 , Dodatni pierwiastek to  √ -- t = − 5 + 4 2 . Stąd

cos ∡A = a--+ 1-= −-5-+ √ 2-+ 1-= √ 2-− 1. 4R 4 4 4

Sposób II

Podobnie jak poprzednio zauważamy, że x = 12(a + R ) .


PIC

Zauważmy jeszcze, że

BE = 2R − AE = 2R − (R − a) = R + a = 2x.

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych AED i DEB mamy

AE DE ----= ---- DE EB DE 2 = AE ⋅2x / : x2 ( )2 DE-- = 2 ⋅ AE- x x 2 sin α = 2co sα 1− cos2α = 2cos α.

Podstawiamy teraz t = cosα .

 2 t + 2t− 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- t = −2-−-2---2-= − 1 − 2 ∨ t = −-2-+-2--2-= − 1 + 2. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy (bo α jest kątem ostrym) i mamy  √ -- cosα = − 1+ 2 .

Sposób III

Podobnie jak poprzednio zauważamy, że  1 x = 2(a + R ) .


PIC

Tym razem wyliczymy cos∡A z trójkąta prostokątnego ABD (jest on prostokątny, bo AB jest średnicą okręgu). Mamy

 1 cos∡A = AD-- = x--= 2(a-+-R-) = -1a + 1-. AB 2R 2R 4R 4

A więc tak jak w I sposobie musimy wyliczyć iloraz a R- . Tym razem korzystamy z podobieństwa trójkątów AED i ADB (oba są prostokątne i mają wspólny kąt).

 AE AD ---- = ---- AD AB R-−--a = x-- x 2R x2 = 2R(R − a) 1-(a2 + 2aR + R 2) = 2R 2 − 2Ra / ⋅4 4 a2 + 10aR − 7R 2 = 0 √ -- Δ = 100R 2 + 28R 2 = 128R 2 = (8 2R )2 √ -- √ -- a = −-10R-+-8--2R--= − 5R + 4 2R . 2

Zatem

 √ -- -- cos∡A = -1a + 1-= −-5R-+--4--2R-+ 1-= √ 2 − 1 . 4R 4 4R 4

Sposób IV

Robimy rysunek.


PIC

Powinno być jasne, że promień okręgu R i długość krótszej podstawy 2a jednoznacznie wyznaczają trapez (rysujemy okrąg o promieniu R , cięciwę długości 2a i cała reszta trapezu jest już jednoznacznie wyznaczona). Korzystając z tej obserwacji mamy plan działania: wyliczymy założenia i szukany cosinus w zależności od R i a i z założeń będzie pewnie wynikać wartość cosinusa (jeżeli zadanie ma sens).

Jeżeli poprowadzimy wysokość DE , to EO = a , zatem AE = R − a . Stosujemy twierdzenie Pitagorasa jednocześnie do trójkątów AED i EOD .

 ∘ ------------ ∘ ------------------- AD = AE 2 + ED 2 = AE 2 + DO 2 − EO 2 = ∘ ------------------- ∘ --------------------------------- = (R − a)2 + R 2 − a 2 = (R − a )(R − a)+ (R − a)(R + a) = ∘ ----------- = 2R (R − a).

Podane założenia dają nam zatem

 ∘ ----------- 3-= 2a-+-2R-+--2--2R-(R-−-a-) 2 ∘ --2a-+-2R-- 3 2R (R − a) --= 1 + ------------- 2∘ ----------a+ R ---2R-(R--−-a) 1- a+ R = 2.

Zanim będziemy to przekształcać dalej, zobaczmy co mamy wyliczyć

 ∘ ------ ∘ ------- AE R − a R − a 1 − a- cos ∡A = ----= ∘------------= ------= ----R- AD 2R (R − a ) 2R 2

Widać więc, że tak naprawdę potrzebny nam jest iloraz aR- .

Wracamy do przekształcania założeń

 ∘ ----------- --2R-(R-−-a)- 1- a + R = 2 ∘ ----------- 2 2R (R − a) = a + R / ()2 2 2 2 8R − 8aR = a + 2aR + R a 2 + 10aR − 7R 2 = 0 / : R2 ( ) -a 2 a- R + 1 0⋅ R − 7 = 0 t2 + 10t − 7 = 0,

gdzie  a- t = R . Dalej, Δ = 10 0+ 2 8 = 64 ⋅2 , Dodatni pierwiastek to  √ -- t = − 5 + 4 2 . Stąd

 ∘ ------- ∘ -----√--- ∘ --------- 1-−-Ra 6−--4--2- √ -- co s∡A = 2 = 2 = 3− 2 2.

Można łatwo sprawdzić, że ∘ --------- 3− 2√ 2-= √ 2-− 1 .  
Odpowiedź: ∘ -----√--- √ -- 3− 2 2 = 2 − 1

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!