Sposób I
Zaczynamy od rysunku.
Trapez wpisany w okrąg musi być równoramienny, oznaczmy długość jego ramienia przez . Mamy zatem
Napiszmy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Aby wyliczyć iloraz , napiszmy twierdzenie Pitagorasa w trójkątach
i
.
gdzie . Dalej,
, Dodatni pierwiastek to
. Stąd
Sposób II
Podobnie jak poprzednio zauważamy, że .
Zauważmy jeszcze, że
Z podobieństwa trójkątów prostokątnych i
mamy
Podstawiamy teraz .
Ujemne rozwiązanie odrzucamy (bo jest kątem ostrym) i mamy
.
Sposób III
Podobnie jak poprzednio zauważamy, że .
Tym razem wyliczymy z trójkąta prostokątnego
(jest on prostokątny, bo
jest średnicą okręgu). Mamy
A więc tak jak w I sposobie musimy wyliczyć iloraz . Tym razem korzystamy z podobieństwa trójkątów
i
(oba są prostokątne i mają wspólny kąt).
Zatem
Sposób IV
Robimy rysunek.
Powinno być jasne, że promień okręgu i długość krótszej podstawy
jednoznacznie wyznaczają trapez (rysujemy okrąg o promieniu
, cięciwę długości
i cała reszta trapezu jest już jednoznacznie wyznaczona). Korzystając z tej obserwacji mamy plan działania: wyliczymy założenia i szukany cosinus w zależności od
i
i z założeń będzie pewnie wynikać wartość cosinusa (jeżeli zadanie ma sens).
Jeżeli poprowadzimy wysokość , to
, zatem
. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa jednocześnie do trójkątów
i
.
Podane założenia dają nam zatem
Zanim będziemy to przekształcać dalej, zobaczmy co mamy wyliczyć
Widać więc, że tak naprawdę potrzebny nam jest iloraz .
Wracamy do przekształcania założeń
gdzie . Dalej,
, Dodatni pierwiastek to
. Stąd
Można łatwo sprawdzić, że .
Odpowiedź: