W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są długości przekątnych... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z przekątną, 3712905

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Z przekątną

Zadanie nr 3712905

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ dane są długości przekątnych $|AC | = 8$ i $|BD | = 1 2$ oraz pola $PABG = 18$ i $PCDG = 2$ . Punkty $E$ i $F$ są środkami odpowiednio przekątnych $BD$ i $AC$ .

Oblicz pole trapezu $ABEF$ .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że trójkąty $ABG$ i $CDG$ są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy ich skalę podobieństwa

k2 = PABG--= 18-= 9 ⇒ k = 3. PCDG 2

Zatem

AG-- = -BG- = k = 3 GC GD

oraz

3 AG = --⋅AC = 6 4 BG = 3-⋅BD = 9 . 4

Stąd

GF = AG − AF = 6− 4 = 2 GE = BG − BE = 9 − 6 = 3.

To oznacza, że trójkąty $F EG$ i $ABG$ są podobne w skali $2 : 6 = 1 : 3$ (bo mają wspólny kąt i proporcjonalne boki przylegające do tego kąta). Zatem