/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Z przekątną

Zadanie nr 7493772

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD . Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CP D jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie AP B . Wykaż, że spełniony jest warunek 2 2 2 4√ 2 |DP | + |CP | − |CD | = --3-⋅|DP |⋅|CP | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Jeżeli oznaczymy AB = a i ∡AP B = α , to ∡CP D = α i CD = a− 2 .

Sposób I

Jeżeli oznaczymy przez R promień okręgu opisanego na trójkącie AP B , to wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie CP D jest równy R − 3 . Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach AP B i CP D .

-AB-- -a--- 2R = sin α = sin α CD a − 2 2(R − 3) = ----- = ------ sin α sin α

Podstawiamy teraz z pierwszej równości do drugiej.

a a 2 sin-α − 6 = sin-α − sin-α --2-- = 6 ⇒ sinα = 1. sin α 3

Wiemy też, że α jest katem ostrym, więc

∘ ---------- ∘ ------ √ -- √ -- cosα = 1 − sin2α = 1 − 1-= --8-= 2--2-. 9 3 3

Pozostało teraz napisać twierdzenie cosinusów w trójkącie CP D .

CD 2 = DP 2 + CP 2 − 2 ⋅DP ⋅CP ⋅co sα √ -- 2 2 2 4--2- DP + CP − CD = 2 ⋅DP ⋅CP ⋅co sα = 3 ⋅DP ⋅CP .

Sposób II

Trójkąty ABP i CDP mają równe kąty, więc są podobne – oznaczmy przez k skalę ich podobieństwa. W szczególności

a k = ------. a − 2

Taki sam jest też stosunek promieni okręgów opisanych na tych trójkątach. Jeżeli więc oznaczymy przez R promień okręgu opisanego na trójkącie AP B , to

k = -RAPB- = --R--. RCPD R − 3

Porównujemy teraz dwa otrzymane wyrażenia na k .

a R ------= ------ a − 2 R − 3 a(R − 3) = R (a− 2 ) a 2 2R = 3a ⇒ --= -. R 3

Widać teraz, że twierdzenie sinusów w trójkącie ABP pozwoli nam teraz obliczyć sin α .

a a 1 ----- = 2R ⇒ sin α = ---= -. sin α 2R 3

Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy identycznie jak w pierwszym sposobie.

Wersja PDF