W trapezie ABCD boki nierównoległe AD i BC zawierają się w prostych... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z przekątną, 8982359

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Z przekątną

Zadanie nr 8982359

W trapezie $ABCD$ boki nierównoległe $AD$ i $BC$ zawierają się w prostych prostopadłych. Oblicz pole trapezu, mając dane $|AD | = a$ oraz $|∡ABC | = |∡DAC | = α < 90∘$ .

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Ponieważ $∡DAB = 90 ∘ − α$ , mamy

∡CAB = ∡DAB − ∡DAC = 90 ∘ − 2 α.

Na rysunku mamy sporo trójkątów prostokątnych, z których powyliczamy długości wysokości oraz podstaw trapezu.

Sposób I

Z trójkąta $AED$ mamy

h --= sin(90 ∘ − α ) ⇒ h = a cosα a AE-- ∘ a = c os(90 − α) ⇒ AE = asin α.

Teraz patrzymy na trójkąt $AF C$ .

AF--= ctg (90∘ − 2α) ⇒ AF = htg 2α = a cosα tg2α . h

Zatem

CD = AF − AE = a cosα tg2α − a sinα.

Teraz patrzymy na trójkąt $F BC$ .

2 FB- = ctgα ⇒ FB = h ctg α = a cos-α-. h sin α

Zatem pole jest równe

cos2α AB--+-CD-- 2a-cosα-tg2α-−-a-sinα-+-a-sin-α- P = 2 ⋅h = 2 ⋅a cosα = 2 sin α cosα ⋅-sin2α + (− sin2 α+ cos2α) = a2 cosα ⋅-------------cos2α----------------------= 2sin α a2 ctgα sin2 2α + cos2 2α a2ctg α = --------⋅ -----------------= -------- 2 cos2α 2cos 2α

Sposób II

Podobnie jak poprzednio wyliczamy

h = a cosα AE = a sinα co s2α FB = a------. sinα

To co zrobimy inaczej, to wyliczymy długość odcinka $CD = EF$ bezpośrednio z twierdzenia sinusów w trójkącie $ACD$ . Aby to zrobić zauważmy, że $∡DCA = ∡CAB = 90 ∘ − 2 α$ . Zatem