/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Oblicz długość

Zadanie nr 1994413

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Bok rombu ABCD ma długość a , a sinus jego kąta ostrego DAB jest równy √ -- --15 4 . Na bokach BC i CD wybrano punkty K i L odpowiednio tak, że odcinki AK i AL podzieliły pole rombu ABCD na trzy równe części (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość odcinka AL .

Rozwiązanie

Dorysujmy przekątną AC .

ZINFO-FIGURE

Zauważmy, że

P = 1-P ALD 3 ABCD 1 1 1 1 1 PACL = --PAKCL = --⋅ -PABCD = -PABCD = -PALD . 2 2 3 6 2

Trójkąty ACL i ALD mają wspólną wysokość h opuszczoną na prostą CD , więc

1 2 = PALD--= 2DL--⋅h-= DL--. PACL 1 LC ⋅h LC 2

W takim razie DL = 2CD = 2a 3 3 i pozostało zastosować twierdzenie cosinusów w trójkącie ALD . Jeżeli oznaczymy α = ∡DAB , to

---------- ∘ ------- ∘ --- ∘ 2 15- -1- 1- co sα = 1− sin α = 1− 16 = 16 = 4 2 2 2 ∘ AL = AD + DL − 2AD ⋅DL( ⋅co) s(180 − α) = 2 4-2 2- 1- 13- 2 1-2 1-6 2 = a + 9a − 2⋅ a⋅3 a⋅ − 4 = 9 a + 3a = 9 a .

Zatem AL = 43a .  
Odpowiedź: AL = 4a 3

Wersja PDF