Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2991230

W romb o boku 8 i kącie ostrym  ∘ 60 wpisano okrąg. Wyznacz pole prostokąta, którego wierzchołki leżą w punktach styczności okręgu z bokami rombu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zadanie to ma wiele możliwych rozwiązań, my pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC

Po pierwsze łatwo jest obliczyć promień r okręgu wpisanego – ponieważ odcinki łączące środek okręgu z punktami styczności są prostopadłe do boków, to średnica EF jest dokładnie wysokością rombu. Możemy długość tej średnicy obliczyć z trójkąta prostokątnego AHD .

DH ---- = sin ∡A 8 √ -- 2r- --3- 8 = 2 8 √ 3- √ -- FE = 2r = ----- = 4 3. 2

Interesujący nas czworokąt składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych EGF i EF L (są prostokątne bo są oparte na średnicy). Wystarczy obliczyć pole jednego z nich. Przeciwprostokątną tych trójkątów przed chwilą obliczyliśmy, teraz obliczymy ich kąty ostre.

Ponieważ odcinki OF i OG są prostopadłe do odpowiednich boków oraz suma kątów czworokąta F OGC wynosi  ∘ 360 , mamy  ∘ ∡F OG = 120 . Trójkąt F OG jest równoramienny, więc ∡OF G = 30∘ (jeżeli ktoś nie boi się takich rzeczy, to można też było zauważyć, że na czworokącie OGCF można opisać okrąg, więc ∡OF G = ∡OCG jako kąty wpisane).

Obliczyliśmy więc kąt ostry trójkąta EGF . Znamy też jego przeciwprostokątną, możemy więc obliczyć jego przyprostokątne.

 √ -- √ -- FG--= cos 30∘ ⇒ F G = 4 3⋅ --3-= 6 FE 2 EG-- ∘ √ -- 1- √ -- FE = sin 30 ⇒ EG = 4 3⋅ 2 = 2 3

Liczymy pole czworokąta

 1- √ -- √ -- P = 2 ⋅2 ⋅FG ⋅EG = F G ⋅EG = 6 ⋅2 3 = 12 3.

Sposób II


PIC

Podobnie jak poprzednio obliczamy wysokość rombu  √ -- LG = F E = 4 3 oraz  ∘ ∡EOL = 120 .

Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole równoległoboku

P = 1cd sin φ , 2

gdzie c,d przekątne równoległoboku a φ kąt między nimi.

Każdy z kątów EGF , GF L , F LE i LEG jest oparty na średnicy, zatem czworokąt EGF L jest prostokątem (można też było zauważyć, że jego przekątne są równej długości i dzielą się na połowy). W szczególności możemy skorzystać z powyższego wzoru na pole.

 1 √ 3- √ -- P = --⋅LG ⋅F E ⋅sin ∡EOL = 24⋅ ----= 12 3. 2 2

 
Odpowiedź:  √ -- 12 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!