Zadanie nr 2991230

W romb o boku 8 i kącie ostrym ∘ 6 0 wpisano okrąg. Wyznacz pole prostokąta, którego wierzchołki leżą w punktach styczności okręgu z bokami rombu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zadanie to ma wiele możliwych rozwiązań, my pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Po pierwsze łatwo jest obliczyć promień okręgu wpisanego – ponieważ odcinki łączące środek okręgu z punktami styczności są prostopadłe do boków, to średnica jest dokładnie wysokością rombu. Możemy długość tej średnicy obliczyć z trójkąta prostokątnego AHD .

DH ---- = sin ∡A 8 √ -- 2r- --3- 8 = 2 √ -- √ -- FE = 2r = 8---3 = 4 3. 2

Interesujący nas czworokąt składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych EGF i EF L (są prostokątne bo są oparte na średnicy). Wystarczy obliczyć pole jednego z nich. Przeciwprostokątną tych trójkątów przed chwilą obliczyliśmy, teraz obliczymy ich kąty ostre.

Ponieważ odcinki i są prostopadłe do odpowiednich boków oraz suma kątów czworokąta F OGC wynosi ∘ 360 , mamy ∘ ∡F OG = 120 . Trójkąt F OG jest równoramienny, więc ∡OF G = 30∘ (jeżeli ktoś nie boi się takich rzeczy, to można też było zauważyć, że na czworokącie OGCF można opisać okrąg, więc ∡OF G = ∡OCG jako kąty wpisane).

Obliczyliśmy więc kąt ostry trójkąta EGF . Znamy też jego przeciwprostokątną, możemy więc obliczyć jego przyprostokątne.

√ -- FG-- ∘ √ -- --3- FE = cos 30 ⇒ F G = 4 3⋅ 2 = 6 EG √ -- 1 √ -- ----= sin 30∘ ⇒ EG = 4 3⋅ --= 2 3 FE 2

Liczymy pole czworokąta

1 √ -- √ -- P = 2 ⋅--⋅FG ⋅EG = F G ⋅EG = 6 ⋅2 3 = 12 3. 2

Sposób II

Podobnie jak poprzednio obliczamy wysokość rombu √ -- LG = F E = 4 3 oraz ∘ ∡EOL = 120 .

Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole równoległoboku

P = 1cd sin φ , 2

gdzie c,d przekątne równoległoboku a kąt między nimi.

Każdy z kątów EGF , GF L , F LE i LEG jest oparty na średnicy, zatem czworokąt EGF L jest prostokątem (można też było zauważyć, że jego przekątne są równej długości i dzielą się na połowy). W szczególności możemy skorzystać z powyższego wzoru na pole.