Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7905138

Oblicz pole rombu ABCD , wiedząc, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i ABD odpowiednio są równe Rc i Rd .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy ∡BAC = α oraz boki rombu przez a .


PIC


Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe, ∡ABD = 90∘ − α . Stosujemy twierdzenie sinusów do trójkątów ABC i ABD .

-BC-- = 2R -----AD------ = 2R sin α c sin(90 ∘ − α ) d a a ----- = 2Rc ----- = 2Rd. sin α co sα

Zanim będziemy to przekształcać dalej, zastanówmy się co mamy policzyć. Pole rombu to suma czterech pól trójkątów prostokątnych. Przyprostokątne tych trójkątów mają długości boków asinα i acos α (łatwo to zobaczyć w trójkącie z podstawą AB ). Zatem pole rombu jest równe

P = 4⋅ 1⋅ asinα ⋅a cosα = 2a2sin αco sα. 2

Widać zatem, że potrzebujemy z otrzymanych wcześniej zależności wyliczyć a,sinα ,cosα . Dzieląc te równości stronami (żeby skrócić a ) mamy

cosα Rc ----- = --- / ()2 sinα Rd cos2α- R-2c 2 = R 2 sin α d 2 R-2c 2 1− sin α = R 2 sin α ( d) R 2 sin2α 1+ --c2 = 1 R d ( 2 2) sin2α R-d +-R-c = 1 R2d sinα = ∘---Rd-----. R 2+ R2 d c

Stąd

 ∘ ---------- R cos α = 1− sin 2α = ∘----c----- R2 + R 2c d ∘-2RcRd---- a = 2Rc sinα = 2 2. R d + R c

Szukane pole wynosi zatem

 2 2 3 3 2 -4R-cRd- ----Rd----- ----Rc----- --8R-cRd--- P = 2a sin α cosα = 2R 2+ R2 ⋅∘ -2-----2⋅ ∘ --2----2 = (R2 + R 2)2. d c Rd + R c R d + R c d c

 
Odpowiedź:  8R3cR3 (R2+R-d2c)2 d

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!