/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Kąty

Zadanie nr 9774994

Dany jest romb ABCD o boku długości 26, w którym przekątna BD ma długość równą 20. Punkt E jest środkiem boku AD (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz sinus kąta α , jaki odcinek BE tworzy z bokiem AB rombu ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy drugą przekątną AC rombu (która oczywiście jest prostopadła BD ) oraz równoległy do niej odcinek EG , gdzie G – rzut punktu E na przekątną BD .

PIC

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AF B i obliczamy długość odcinka AF

∘ ----------- ∘ ---------- √ ---------- √ ---- AF = AB 2 − BF 2 = 262 − 102 = 676 − 100 = 576 = 24.

Prosta EG jest równoległa do AF i przechodzi przez środek E odcinka AD , więc EG jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie AF D . W szczególności

GF = GD = 1-DF = 5 2 1- EG = 2 AF = 12.

Ponownie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa – tym razem w trójkącie BEG .

∘ ------------ ∘ ---------- ∘ ------- BE = BG 2 + GE 2 = 152 + 122 = 3 5 2 + 42 = 3√ 41.

Zauważmy teraz, że trójkąty ABE i DEB mają podstawy równej długości AE = DE oraz wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B na te podstawy. To oznacza, że mają równe pola. Stąd

1 1 1 1 1 PABE = --PABD = --⋅ -BD ⋅AF = -⋅ --⋅20⋅ 24 = 120. 2 2 2 2 2

Teraz możemy już obliczyć interesujący nas sinus – korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

1 1 √ --- 120 = PABE = -AB ⋅BE ⋅sin α = --⋅26 ⋅3 41 sin α 2 √ 2-- ---120---- --40--- 40--41- sin α = 13 ⋅3√ 41-= 13√ 41-= 533 .

 
Odpowiedź: 40√-41- 533

Wersja PDF