/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 2796970

Ułóż równanie kwadratowe, takie, by suma pierwiastków równania była równa 5 oraz aby kwadrat różnicy tych pierwiastków był równy 37.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyliczymy wartości wyrażeń x1 + x2 i x1x2 , które na mocy wzorów Viète’a dają współczynniki b i c równania

x2 − bx + c = 0,

którego rozwiązaniami są x 1 i x2 .

Mamy b = x1 + x2 = 5 oraz

3 7 = (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x 1x 2 = 25 − 4x1x2 4x x = 25 − 37 = − 12 ⇒ c = x x = − 3. 1 2 1 2

Zatem szukane równanie to 2 x − 5x− 3 = 0 .

Powyżej znaleźliśmy przykład równania, o żądanych własnościach. Gdybyśmy chcieli wyznaczyć wszystkie takie równania, to musimy odpowiedź przemnożyć przez dowolne a ⁄= 0 (bo ta operacja nie zmienia pierwiastków równania).  
Odpowiedź: 2 x − 5x − 3 = 0

Wersja PDF