Zadanie nr 3290343

Liczby i są rozwiązaniami równania 2 x − 2017x + 2 = 0 . Oblicz wartość wyrażenia

---a-- + a lo g b + ---b-- + blog a. loga 2 2 logb 2 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że jeżeli i są pierwiastkami danego równania to

{ a + b = 2017 ab = 2.

Musimy teraz przekształcić dane wyrażenie tak, aby wyrazić je w zależności od a + b i . Korzystamy przy tym ze wzorów

log (xy) = log x + logy lo gyy 1 logx y = ------= ------. lo gyx logy x

Sposób I

Liczymy

--a---+ alog b+ --b---+ blog a = --a---+ --a---+ --b---+ --b---= loga 2 2 logb 2 2 loga 2 logb 2 lo gb 2 lo ga2 a + b a + b = ------+ ------= 2017 (log2a + log 2b) = loga 2 logb 2 = 2017 lo g (ab) = 20 17log 2 = 2017 . 2 2

Sposób II

Liczymy

--a--- --b--- log 2 + alog2 b+ log 2 + blog2 a = alog2 a+ alog2 b+ blog2 b+ blog2 a = a b = a(log2 a+ log 2b) + b(log2 b+ log 2a) = (a + b) lo g2(ab) = 201 7log2 2 = 2017.

Odpowiedź: 2017