/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 4178871

Ułóż równanie kwadratowe, takie, by iloczyn pierwiastków równania był równy 4 oraz by suma odwrotności kwadratów jego pierwiastków była równa 2.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyliczymy wartości wyrażeń x1 + x2 i x1x2 , które na mocy wzorów Viète’a dają współczynniki b i c równania

x2 − bx + c = 0,

którego rozwiązaniami są x 1 i x2 .

Mamy c = x1x2 = 4 oraz

1-- -1- x21-+-x22- (x1-+-x2)2-−-2x1x-2 2 = x2 + x 2= (x x )2 = 16 1 2 1 2 32 = (x1 + x2)2 − 8 2 (x1 + x2) =√ 40- √ --- x + x = 2 10 ∨ x + x = − 2 10 . 1 2 1 2

Zatem szukane równanie to 2 √ --- x − 2 10x + 4 = 0 lub 2 √ --- x + 2 10x + 4 = 0 .

Powyżej znaleźliśmy przykład równania, o żądanych własnościach. Gdybyśmy chcieli wyznaczyć wszystkie takie równania, to musimy odpowiedź przemnożyć przez dowolne a ⁄= 0 (bo ta operacja nie zmienia pierwiastków równania).  
Odpowiedź: 2 √ --- x − 2 1 0x+ 4 = 0 lub √ --- x 2 + 2 1 0x+ 4 = 0

Wersja PDF