/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 4473013

Wyznacz wszystkie liczby a > b > 0 takie, że 2 2 a + b = 6ab .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie

2 2 2 a + b = 6ab / : b ( a) 2 a- b + 1 = 6 ⋅b ( a) 2 a -- − 6⋅ -+ 1 = 0. b b

Podstawiamy teraz a t = b .

t2 − 6t + 1 = 0 √ -- Δ = 36− 4 = 32 = (4 2)2 √ -- √ -- t = 3− 2 2 ∨ t = 3 + 2 2.

Ponieważ a > b > 0 mamy

a √ -- √ -- -= 3 + 2 2 ⇒ a = (3+ 2 2)b. b

 
Odpowiedź: √ -- a = (3 + 2 2 )b i b > 0 dowolne

Wersja PDF