/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 4546086

Liczby p i q są pierwiastkami równania 2 x − 47x + 1 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia √ -- √ -- 4 p+ 4 q jest liczbą naturalną.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że jeżeli p i q są pierwiastkami danego równania to

{ p + q = 47 pq = 1.

To w szczególności oznacza, że p i q są liczbami dodatnimi. Jeżeli oznaczymy √ -- √ -- x = 4 p + 4q , to mamy

√ -- √ --2 √ -- √ -- √ --- √ -- √ -- x2 = ( 4 p+ 4 q) = p + q + 2 4pq = p + q + 2.

Widać teraz, że potrzebujemy jeszcze obliczyć √ -- √ -- y = p+ q . Liczymy

√ -- √ -- √ --- y2 = ( p + q)2 = p + q+ 2 pq = 47+ 2 = 49.

Stąd y = 7 i

x 2 = y+ 2 = 9.

Zatem x = 3 .

Wersja PDF