/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 4921625

Liczby p i q są pierwiastkami równania 2 x − 45x + 4 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia

√1--+ √1-- p q

jest liczbą wymierną.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że jeżeli p i q są pierwiastkami danego równania to

{ p + q = 45 pq = 4.

To w szczególności oznacza, że p i q są liczbami dodatnimi. Dane wyrażenie jest równe

√ -- √ -- √ -- √ -- √1--+ √1--= --p√+---q-= --p-+---q-. p q pq 2

Spróbujmy teraz ustalić jaką wartość ma licznik -- -- x = √ p + √ q tego ułamka

x2 = (√p--+ √q-)2 = p + 2√pq--+ q = 45+ 4 = 49.

W takim razie x = 7 i interesujące nas wyrażenie jest równe

1 1 √p--+ √q-- 7 √---+ √---= ---------- = --. p q 2 2
Wersja PDF