Zadanie nr 5022755
Liczby i
są pierwiastkami równania
. Wykaż, że wartość wyrażenia
jest liczbą naturalną.
Rozwiązanie
Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że jeżeli i
są pierwiastkami danego równania to

To w szczególności oznacza, że i
są liczbami dodatnimi. Jeżeli oznaczymy
, to mamy

Liczba jest więc dodatnim pierwiastkiem równania

Szukamy wymiernych pierwiastków tego równania wśród dzielników wyrazu wolnego. Gdy to zrobimy, okaże się, że pierwiastkiem jest . Musimy jeszcze sprawdzić, czy nie ma innych pierwiastków – dzielimy lewą stronę przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.

Trójmian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków rzeczywistych (bo ), więc
jest jedynym pierwiastkiem wielomianu
. W takim razie
