/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 5022755

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby p i q są pierwiastkami równania 2 x − 40x + 8 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia √ -- √ -- 3 p+ 3 q jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że jeżeli p i q są pierwiastkami danego równania to

{ p + q = 40 pq = 8.

To w szczególności oznacza, że p i q są liczbami dodatnimi. Jeżeli oznaczymy √ -- √ -- a = 3 p + 3q , to mamy

√ -- √ -- ∘ ---- ∘ ---- a3 = ( 3p + 3q )3 = p+ 3 3p 2q+ 3 3 pq 2 + q = √ --- √ -- √ -- = p + q + 3 3pq ( 3p + 3q) = 4 0+ 6a.

Liczba a jest więc dodatnim pierwiastkiem równania

x 3 − 6x − 4 0 = 0.

Szukamy wymiernych pierwiastków tego równania wśród dzielników wyrazu wolnego. Gdy to zrobimy, okaże się, że pierwiastkiem jest x = 4 . Musimy jeszcze sprawdzić, czy nie ma innych pierwiastków – dzielimy lewą stronę przez (x − 4) . My zrobimy to grupując wyrazy.

x3 − 6x − 40 = x3 − 4x2 + 4x2 − 16x + 1 0x− 40 = x2(x− 4)+ 4x(x − 4) + 10(x − 4 ) = (x2 + 4x + 10)(x − 4).

Trójmian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków rzeczywistych (bo Δ < 0 ), więc a = 4 jest jedynym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 3 − 6x − 40 . W takim razie

√ -- √ -- a = 3p + 3q = 4.
Wersja PDF