/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 5459053

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby α i β są pierwiastkami równania 2 5x − 3x − 7 = 0 . Wykaż, że pierwiastkami równania 343x2 + 342x − 1 25 = 0 są liczby α13 i 1β3 .

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a liczby α i β spełniają warunki

{ 3 α + β = 5 αβ = − 75.

Liczby -1 α3 i -1 β 3 są pierwiastkami równania

( ) ( ) 1 1 x− -3- x − --3 = 0 ( α ) β 2 -1- 1-- --1-- x − α 3 + β3 x+ α3β3 = 0 3 3 x 2 − α-+--β-x + --1---= 0 / ⋅(αβ )3 (αβ)3 (α β)3 ( ) 3 ( ) − 7- x2 − (α+ β)3 − 3αβ(α + β ) x+ 1 = 0 / ⋅(− 1 ) 5 343 ( 27 7 3) ---x 2 + ----+ 3⋅ --⋅-- x − 1 = 0 / ⋅12 5 125 12 5 5 5 3 43x2 + 342x − 1 25 = 0.
Wersja PDF