/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 5904214

Liczby p i q są pierwiastkami równania 2 3x − 11x − 5 = 0 . Wykaż, że pierwiastkami równania 75x2 − 1826x − 4 5 = 0 są liczby p q2 i q p2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a liczby p i q spełniają warunki

{ 11 p + q = 3 pq = − 53.

Liczby -p q2 i -q p2 są pierwiastkami równania

( ) ( ) p q x− -2- x − --2 = 0 (q ) p 2 p-- -q- -1- 2 x − q2 + p2 x+ pq = 0 / ⋅(pq ) 2 2 3 3 (pq) x − (p + q )x + pq = 0 ( 5) 2 ( ) 5 − -- x 2 − (p + q)3 − 3pq(p + q ) x − --= 0 3 ( ) 3 25 2 1 331 5 11 5 --x − ----- + 3 ⋅--⋅--- x− --= 0 / ⋅27 9 27 3 3 3 75x2 − 1826x − 45 = 0.
Wersja PDF