/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 6155610

Liczby p i q są pierwiastkami równania 2 x − 23x + 1 = 0 . Wykaż, że wartość wyrażenia √ -- √ -- p + q jest liczbą naturalną.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że jeżeli p i q są pierwiastkami danego równania to

{ p + q = 23 pq = 1.

To w szczególności oznacza, że p i q są liczbami dodatnimi. Jeżeli oznaczymy √ -- √ -- x = p + q , to mamy

√ -- √ --2 √ --- x2 = ( p + q) = p + 2 pq + q = 23+ 2 = 25.

W takim razie x = 5 .

Wersja PDF