/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Różne

Zadanie nr 9883769

Ułóż równanie kwadratowe, takie, by suma pierwiastków równania była równa − 5 oraz by suma odwrotności jego pierwiastków była równa 10.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyliczymy wartości wyrażeń x1 + x2 i x1x2 , które na mocy wzorów Viète’a dają współczynniki b i c równania

x2 − bx + c = 0,

którego rozwiązaniami są x 1 i x2 .

Mamy b = x1 + x2 = − 5 oraz

10 = -1-+ 1--= x1 +-x2-= −-5-- x 1 x2 x1x 2 x1x2 − 5 1 c = x1x2 = ----= − --. 10 2

Zatem szukane równanie to 2 1 x + 5x− 2 = 0 .

Powyżej znaleźliśmy przykład równania, o żądanych własnościach. Gdybyśmy chcieli wyznaczyć wszystkie takie równania, to musimy odpowiedź przemnożyć przez dowolne a ⁄= 0 (bo ta operacja nie zmienia pierwiastków równania).  
Odpowiedź: 2 1 x + 5x − 2 = 0

Wersja PDF