/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Bez ułamka

Zadanie nr 9813378

Oblicz całkę ∫ sin x sin 3xdx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Aby zamienić iloczyn w całkowanej funkcji na sumę, skorzystamy ze wzoru

α-+--β α-−-β- cosα + co sβ = − 2 sin 2 sin 2 .

Aby prawa strona tego wzoru wyglądała jak całkowana funkcja musimy mieć

{ α+-β = 3x α−2β --2- = x.

Dodając te równania stronami mamy α = 4x , a odejmując β = 2x . Zatem

∫ ∫ 1- 1- 1- sin x sin 3xdx = − 2 (cos4x − co s2x) dx = 4 sin 2x − 8 sin4x + C .

Sposób II

Liczymy dokładnie tak samo jak poprzednio, ale korzystamy z gotowego wzoru

1 sin ax sin bx = --(cos(a− b)x− cos(a + b)x) 2

Mamy więc

∫ 1 ∫ 1 1 sin x sin 3xdx = -- (cos2x − co s4x) dx = -sin 2x − --sin4x + C . 2 4 8

 
Odpowiedź: 14 sin2x − 18 sin 4x+ C

Wersja PDF