Zadanie nr 2398378
Rozwiąż układ równań
Rozwiązanie
Ponieważ oba równania układu są symetryczne względem i
, możemy je zapisać używając zmiennych
i
. Spróbujmy to zrobić.
![{ 13 = x+ xy + y = s + t − 30 = 2(x+ y)2 + x2y + xy2 = 2s2 + xy (x + y) = 2s2 + st.](https://img.zadania.info/zad/2398378/HzadR4x.gif)
Z pierwszego równania wyliczamy i podstawiamy do drugiego równania.
![− 30 = 2s2 + s(1 3− s) 2 s + 13s + 30 = 0 Δ = 49 s1 = −1 0, s2 = − 3 t1 = 2 3, t2 = 16.](https://img.zadania.info/zad/2398378/HzadR6x.gif)
Jak teraz obliczyć i
? Można rozwiązać odpowiedni układ równań, ale prościej jest skorzystać ze wzorów Viète’a. Liczby
i
są pierwiastkami równania
![2 x − sx + t = 0.](https://img.zadania.info/zad/2398378/HzadR11x.gif)
Musimy zatem rozwiązać dwa równania
![2 x + 10x + 23 = 0 x2 + 3x + 16.](https://img.zadania.info/zad/2398378/HzadR12x.gif)
Drugie z równań nie ma pierwiastków, a w przypadku pierwszego mamy ,
i
.
Odpowiedź: lub