Zadanie nr 4740509

Wykaż, że nie istnieje para liczb (a ,b) spełniająca układ równań { 3b+ 2ab = 1 2 2 a + b + 3a = − 4.

Rozwiązanie

Sposób I

Dodajmy równania układu stronami.

2 2 a + b + 3a + 3b + 2ab = − 3 (a + b)2 + 3(a + b) = − 3 (a + b + 3)(a + b) = − 3.

Podstawmy teraz x = a+ b .

(x + 3)x = − 3 x2 + 3x + 3 = 0 Δ = 9− 12 < 0.

Otrzymane równanie kwadratowe jest sprzeczne, więc układ nie ma rozwiązań.

Sposób II

Przekształćmy drugie równanie – zwijamy do pełnego kwadratu.

9 9 a 2 + 3a + -+ b2 − --= − 4 ( ) 24 4 3- 2 7- a+ 2 + b = − 4.

Oczywiście suma kwadratów nie może być liczbą ujemną, więc drugie równanie układu jest sprzeczne.

Sposób III

Podstawiamy b = -1-- 3+2a z pierwszego równania do drugiego.

2 ----1----- 2 a + (3+ 2a)2 + 3a = − 4 / ⋅(3+ 2a) 2 2 2 2 a (3+ 2a) + 1+ 3a(3+ 2a) = − 4(3 + 2a) (3+ 2a)2(a2 + 3a+ 4) = − 1.

Teraz wystarczy zauważyć, że oba wyrażenia z lewej strony są nieujemne ( trójmianu w drugim nawiasie jest ujemna). Równanie to jest więc sprzeczne.