Zadanie nr 8732120
Wyznacz w zależności od parametru liczbę rozwiązań układu równań
![{ |x |+ |y| = 1 |x |+ a = y .](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadT1x.gif)
Rozwiązanie
Sposób I
Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) mamy
![|y|− a = 1 − y { y− a = 1− y dla y ≥ 0 −y − a = 1− y dla y < 0 { a+1- y = 2 dla y ≥ 0 a = − 1 dla y < 0](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR1x.gif)
Jeżeli to dowolny
spełnia powyższy warunek i z równości
widać, że takie
-ki dają nieskończenie wiele rozwiązań układu. Załóżmy dalej, że
. Zatem
o ile
![a-+-1- y = 2 ≥ 0 ⇒ a ≥ − 1.](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR8x.gif)
Mam ponadto . To równanie będzie miało jedno rozwiązanie gdy
![a-+-1- y = 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ a = 1,](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR10x.gif)
dwa rozwiązania gdy
![a + 1 1 > y > 0 ⇒ 1 > --2---> 0 ⇒ 1 > a > − 1,](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR11x.gif)
i nie będzie miało rozwiązań w pozostałych przypadkach. Zatem liczba rozwiązań układu równań wynosi
![( 0 dla a < − 1∨ a > 1 |||{ 1 dla a = 1 | 2 dla − 1 < a < 1 ||( ∞ dla a = − 1.](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR12x.gif)
Sposób II
Zadanie ma też dość prostą interpretację geometryczną.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR13x.gif)
Jeżeli zapiszemy pierwsze równanie w postaci
![{ y = 1 − |x| dla y ≥ 0 y = |x|− 1 dla y < 0](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR14x.gif)
to łatwo naszkicować rozwiązania tego równania: jest kwadrat o wierzchołkach
![(− 1,0),(0,1),(1,0),(0,− 1).](https://img.zadania.info/zad/8732120/HzadR15x.gif)
Zatem pytamy się ile punktów wspólnych ma ten kwadrat z wykresem funkcji , który to wykres powstaje przez przesunięcie wykresu
o
wzdłuż osi
. Przy takiej interpretacji, otrzymana wcześniej odpowiedź staje się oczywista.