Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5388387

Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od rysunku.


PIC


Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie, odległość ich środków jest równa sumie ich promieni

O 1O 2 = r1 + r2.

Z drugiej strony wiemy, że jest równa

O1O 2 = O 2A − O1A = 12 − 8 = 4.

Zatem

r1 + r2 = 4.

Musimy znaleźć jeszcze jedną zależność między promieniami. Aby to zrobić popatrzmy na prostokątne trójkąty podobne ABO 1 i ACO 2 .

BO 1 CO 2 AO--- = AO--- 1 2 r1 = r2. r = 2-r. 8 12 1 3 2

Podstawiając do wcześniej otrzymanego równania, mamy

2 --r2 + r2 = 4 3 5-r = 4 ⇒ r = 12- 3 2 2 5 2- 8- r1 = 3 r2 = 5.

 
Odpowiedź: 8 5 i 12- 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!