/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Kąty

Zadanie nr 4441676

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D , że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC .


PIC


Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡BAD = ∡CAD = α .


PIC


Trójkąt ABC jest równoramienny, więc

∡ABC = ∡BAC = 2α .

Sposób I

Trójkąt BDA jest podobny do trójkąta ABC , więc też jest trójkątem równoramiennym z dwoma kątami o mierze 2α . Stąd

2α = ∡ADB = 180∘ − α − 2α 5α = 180∘ ⇒ α = 36∘.

Zatem

∡BAC = 2α = 72∘.

Sposób II

Zauważmy, że

∡ACB = 180∘ − 4α.

Korzystamy z podobieństwa trójkątów ABC i BDA .

180∘ − 4α = ∡ACB = ∡BAD = α 5α = 180∘ ⇒ α = 36∘.

Zatem

 ∘ ∡BAC = 2α = 72 .

 
Odpowiedź:  ∘ ∡BAC = 72

Wersja PDF
spinner