Zadanie nr 8395288

W trójkąt równoramienny o podstawie 12 cm i wysokości 8 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Sposób I

Obliczmy długość ramienia trójkąta oraz jego pole.

∘ ------------ ∘ ------- √ ---- b = BC = BD 2 + CD 2 = 62 + 82 = 100 = 1 0 1 P = --⋅AB ⋅CD = 6⋅8 = 48. 2

Promień okręgu wpisanego obliczymy ze wzoru na pole

1 1 P 48 P = 2(a + b + c)r = 2-(10+ 10+ 12)r = 16r ⇒ r = 16-= 16-= 3 .

Sposób II

Tym razem promień okręgu wpisanego obliczymy bardziej wprost – z trójkąta prostokątnego CES .

Tak samo jak w pierwszym sposobie obliczamy długość ramienia trójkąta

∘ ------------ ∘ ------- √ ---- BC = BD 2 + CD 2 = 62 + 82 = 100 = 10.

Zauważmy jeszcze, że

BE = BD = 6 ⇒ CE = BC − BE = 4 CS = CD − DS = 8 − r.

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CES .

CE 2 + ES 2 = CS 2 16+ r2 = (8− r)2 2 2 16+ r = 64 − 16r + r 48- 16r = 48 ⇒ r = 16 = 3.

Sposób III

Tak samo jak w poprzednim sposobie obliczamy CE = 4 . Teraz korzystamy z podobieństwa trójkątów CES i CDB .

CE CD ----= ---- ES DB 4-= 8- ⇒ r = 24-= 3 . r 6 8

Odpowiedź: r = 3