W trójkącie równoramiennym ostrokątnym ABC mamy dane |AC|=|BC|=b... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Okręgi, 9092733

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Okręgi

Zadanie nr 9092733

W trójkącie równoramiennym ostrokątnym $ABC$ mamy dane $|AC | = |BC | = b$ oraz $|∡ACB | = α$ . Z wierzchołka $B$ przez środek okręgu opisanego na tym trójkącie poprowadzono prostą, przecinającą bok $AC$ w punkcie $D$ . Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ oraz długość odcinka $BD$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Do wyliczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt informacje o prostej $BD$ są zupełnie zbędne – wyliczymy go ze wzoru na pole $P = pr$ , gdzie $p$ – połowa obwodu. Liczymy

a-= sin α- ⇒ a = bsin α- b 2 2 1 1 2 P = -AC ⋅CB ⋅sin ∡C = -b sin α 2 1 2 2 r = P-= --P---= -2b-sin-α--= --b-sinα----. p a + b bsin α + b 2(sin α + 1) 2 2

Policzmy teraz długość odcinka $BD$ . Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ jest równo odległy od wierzchołków, trójkąt $COB$ jest równoramienny, czyli